دانلود مقاله جین باتپیست جوزف فوریه با word دارای 149 صفحه می باشد و دارای تنظیمات در microsoft word می باشد و آماده پرینت یا چاپ است

فایل ورد دانلود مقاله جین باتپیست جوزف فوریه با word  کاملا فرمت بندی و تنظیم شده در استاندارد دانشگاه  و مراکز دولتی می باشد.

این پروژه توسط مرکز مرکز پروژه های دانشجویی آماده و تنظیم شده است

توجه : در صورت  مشاهده  بهم ریختگی احتمالی در متون زیر ،دلیل ان کپی کردن این مطالب از داخل فایل ورد می باشد و در فایل اصلی دانلود مقاله جین باتپیست جوزف فوریه با word،به هیچ وجه بهم ریختگی وجود ندارد

بخشی از متن دانلود مقاله جین باتپیست جوزف فوریه با word :

جین باتپیست جوزف فوریه

متولد : 21 مارس 1768 در اکسر ،‌پورگن فرانسه
وفات : 16 می 1830 در پاریس فرانسه
پدر جوزف فوریه، در اکسر خیاط بود. پس از درگذشت زن اول ، او سه فرزند داشت. او دوباره ازدواج کرد. جوزف نهمین فرزند از دوازده فرزندش در ازدواج دوم بود. وقتی جوزف سه سال داشت،‌مادرش در گذشت و پدر خود را نیز سال بعد از دست داد.

اولین مدسه او در مدرسه پالایز بود – در این هنگام او با رهبر موزیک کلیسای جامع همراه شده بود. در آنجا جوزف لاتین و فرانسه را یاد گرفت و با خود عهد بزرگی بست. در سال 1780 به «اِکُلْ رویال میلیاتر اکسر» رهسپار شد. مکانی که برای اولین بار استعدادش را در آثار ادبی نشان داد. اما خیلی زود در سن سیزده سالگی، ریاضی علاقه واقعی او شد. در سن چهارده‌سالگی او تحصیلات خود را تا کلاس ششم در رشته ریاضیات کامل کرد.در سال 1783 او جایزه اول مدرسه «باسوت» در رشته خودش، یعنی مکانیک عمومی دریافت کرد. در سال 1787 جوزف تصمیم گرفت تا به دنبال روحانیت برود و به همین منظور به عنوان راهب وارد صومعه نبت کتین شد.

علاقه او به ریاضیات ادامه داشت به هر حال او با ال- سی پونارد استاد ریاضی در اکسر مکاتبه می کرد. اما فوریه مطمئن نبود که تصمیم درستی در مورد روحانیت گرفته است یا خیر.
او یک نامه در حیره به مونتا کلا پاریس تسلیم کرد. او در نامه خود به بونارد پیشنهاد کرد که قصد دارد برخورد جدی با ریاضی بکند. او در این نامه نوشت :

دیروز تولد 21 سالگی من بود و در آن سن نیوتن و پاسکال دستاوردهای فناناپذیری را بدست آوردند. فوریه ، صومعه را درسال 1789 ترک کرد از پاریس دیدن کرد و نامه‌ای از آکادمی عالی علمی در معادلات جبری می خواند. در سال 1790 او معلم « بندیکتاین کالج» در اکل رویال میلیاتر اکسر همان جایی که درس خوانده بود شد و تا آن زمان یک کشمکش درونی در فوریه در این مورد وجود داشت که آیا او باید یک فرد مذهبی باشد یا یک محقق ریاضی به هر جهت در سال 1793 سومین عنصر(عامل) به کشمکش‌های او اضافه شد . زمانی که او وارد سیاست شد و به کمیته انقلابی علمی پیوست.

او نوشت :
بر طبق قانون پیشرفته تساوی در طبیعت ممکن است که تصویر کنیم این عمل مافوق انسانی باشد که یک دولت معاف از کشیش و شاه باشد و خاک اروپا از بند یوغی دوبله که زمانی بسیار طولانی است و آن را در بر گرفته است، آزاد شود . من زمانیکه می خوانم ،‌ شیفته این عمل هستم. در نظر من بزرگترین و زیباترین ملت ها چنین ملتی است حتی اگر زیر بار فشارها باشد.
فوریه از تروری که نتیجه انقلاب فرانسه شد، ناراحت شد و تلاش کرد تا از کمیته استعفا دهد به هر جهت این امر غیر ممکن بود و فوریه الان کاملاً با انقلاب گرفتار شده است و نمی تواند از ان رهایی یابد.

انقلاب یک کار کاملاً پیچیده‌ای از خیلی جها ت است با اهدافی کاملاً مشابه و عملکردی شدید متقابل با هم . فوریه از اعضا حمایت کرد به نظر می رسد فوریه از سکوی ویژه‌ای از درون مردم برخواسته است و به خوبی می تواند صحبت کند و اگر او بماند خواهد دید که جامعه اکسر بدون هیچ نگرانی خواهد بود. این رویداد نتایج جدی داشت اما بعد از آن فوریه به اکسر برگشت و به کار در کمیته انقلابی و تدریس در دانشگاه ادامه داد . در جولای 1794 او دستگیر شد و به خاطر واقعه اولئان به زندان افتاد . اما پس از چندی – تغییر سیاست منجر به آزادی او شد.

در سال 1794 جوزف برای مطالعه در ایکول نرمالی در پاریس کاندید شد. این مؤسسه برای تربیت معلمان وضع شد و قصد داشت یک روش دیگری برای تربیت معلمان در مدرسه بکار برد . این مدرسه در جولای 1795 باز شد و فوریه مطمئناً شاگرد توانایی بود. او از لاگرانژ چیزهای زیادی آموخته بود، لاگرانژ در آن زمان فوریه را اینطور توصیف می کرد :‌ اولین دانشمند مرد اروپا و همچنین لاپلاس کسی که برای فوریه بهای زیادی گذاشت و همین طور منگ که فوریه در باره او می گوید : دانشمندی متکبر با صدای بلند و فعال است.
فوریه در کالج فرانسه شروع به درس دادن کرد و رابطه‌اش با لاپلاس و منگ در تحقیقات ریاضی‌ شروع شد.

منگ اسم مدرسه را به ایکل پلی تکنیک تغییر داد . در اول سپتامبر 1795 فوریه در ایکل پلی تکنیک در حال درس دادن بود. در سال 1797 موفق شد لاگرانژ را به استادی آنالیز و مکانیک منصوب کند او به یک استاد برجسته و مشهور تبدیل شده بود.

در سال 1798 فوریه به ارتش ناپلئون در هجوم به مصر مثل یک دانشمند آگاهی دهنده پیوست منگ و ملوس نیز قسمتی از این نیروی هیدئت اعزامی بودند. این هیئت اعزامی یک موفقیت بزرگ بود. فوریه یک انجمن پلی تکنیک در فرانسه به کار انداخت و او امیدوار بود که یک آموزش و پروش روانی در مصر تأسیس کند و یک اکتشاف باستان شناسی انجام دهد.
فوریه یک انجمن مخفی انتخاب کرد این انجمن برای او یک موقعیت بود و تا وقتی مصر در تصرف تمام فرانسه است، با این انجمن است .
ناپلئون ارتش را ترک کرد و به پاریس برگشت .

در سال 1801 فوریه با نیروی اعزامی مانده در مصر به فرانسه برگشت.
در این زمان فوریه پستش را به عنوان پروفسور آنالیز در ایکل پلی تکنیک از سر گرفت .

اما ناراحت بود از اینکه فرهنگستان جهان و پاریس را ترک کند در حالی که نمی توانست در خواست ناپلئون را رد کند و به جرمونل رفت ،جایی که کارش از فرمانده هم بیشتر بود.
دو موفقیت بزرگ او یکی در وضعیت اداری – سرپرستی کردن اداره آبگذر در باتلاق برکوئین بود و دیگری رسیدگی به کار ساختمانی در بزرگراه جدیدی بود از جرنونل تا تدوین.
او وقت زیادی صرف کشور مصر کرد.

طی این مدت فوریه روی ریاضیات مهمش کار می کرد. قضیه گرما که کار روی این موضوع را اطراف سال‌های 1804 تا 1807 شروع کرد.او قضیه مهمش را روی تکثیر گرما در اجسام جامد کامل کرد.

اما کمیته از این بایت احساس، ناراحتی می کردند و دو اعتراض به کار او داشتند :
اعتراض اول :
– بسط تابع فوریه از سری مثلثات توسط لاگرانژ و لاپلاس که امروزه سری فوریه، نامیده می شود البته فوریه به روشنی و به وضوح آنها را متقاعد کرد که شکست خورده‌اند.
همه نوشته ها به روشنی با مثال وجود داشتند.

دومین موضوع « استفاده کردن معادله انتقال دادن گرما :
فوریه به کاغذ بیوت 1804 به عنوان مرجع درست دست رسی نداشت اما کاغذ بیوست حتماً غلط است لاپلاس و پواسون شبیه این موضوع را داشتند.
انجمن در سال 1811 جایزه مسابقه‌ای را که موضوع آن تکثیر گرما در اجسام جامد بود را برای فوریه فرستاد به عنوان جایزه ریاضیات
فوریه در سال 1807 نظریه‌اش را به همه ارائه داد البته او روی خنک کردن جسم جامد محدود از جنس خاک و گرمای شعاعی نیز بسیار کار کرد.

فصل اول
مقدمات
1-1 تعریف :
توابع قطعه‌ای پیوسته
فرض کنیم تابع در همه نقاط بازه باز و محدود جز احتمالاً مجموعه‌ای متناهی از نقاط پیوسته باشد که در آن :
اگر قرار دهیم و آنگاه تابع در هر یک از زیربازه‌های باز

پیوسته است . در نقاط انتهایی لزوماً پیوسته نیست یا حتی تعریف نشده است. اما اگردر هریک از زیر بازه‌ها وقتی x از داخل به نقاط انتهایی میل کند. دارای حد متناهی باشد ،‌گوئیم در بازه به صورت قطعه‌ای پیوسته است. دقیق تر این است حدود یکطرفه :

وجود داشته باشند.
اگر در نقاط انتهایی یک جزء بازه ، حد f را وقتی از داخل آن جزء به انتهای آن میل می کند نسبت دهیم ،‌آنگاه f در زیر بازه بسته پیوسته است. چون هر تابع که در بازه بسته و محدودی پیوسته باشد محدود است. پس می توان گفت f در تمام بازه محدود است یعنی عدد مثبتی مانند M هست که برای همه نقاط ) ( که در آن f تعریف شده است. داریم
مثال : تابع در بازه پیوسته است . اما قطعه‌ پیوسته نیست زیرا موجود نیست.

اگر تابعی در بازه بسته پیوسته باشد. آنگاه در بازه باز قطعه‌ای پیوسته است
اما مثال فوق نیز نشان داده است که پیوستگی در بازه باز مستلزم پیوستگی قطعه به
قطعه در آن نیست.
اگر تابع f در بازه قطعه به قطعه پیوسته باشد، همیشه انتگرال از تا وجود دارد. انتگرال آن برابر است با مجموع انتگرال‌های بر جزء بازه‌های بازی که f در آن ها پیوسته است.

اولین انتگرال در سمت راست موجود است چون انتگرال تابعی پیوسته در تعریف شده است که اگر مقدار انتگرال است و در نقاط و مقادیر آن به ترتیب و است . باقی انتگرال‌ها در سمت راست نیز به همین نحو تعریف شده و موجود هستند.
مثال : فرض کنید و نمودار آن به شکل زیر می باشد.

در این صورت خواهیم داشت :

همان طور که مشاهده می شود مقادیر f در نقاط انتهایی تأثیری در مقدار انتگرال بر هر یک از جزء بازه‌ها ندارند . د واقع تابع در تعریف نشده است.
اگر دو تابع و هر یک در بازه قطعه‌ای پیوسته باشند ، آنگاه قسمتی از بازه موجود هست بطوریکه که در هر زیر بازه بسته، چنانچه مقدار هریک از توابع را در هر نقطه انتهایی زیر بازه، ‌مقدار حدی آن تابع از داخل زیربازه تعریف کنیم ، هر دو تابع در ان زیر بازه

بسته، پیوسته خواهند بود. پس هر ترکیب خطی مانند یا حاصلضرب در هر زیر بازه دارای آن پیوستگی است. و دربازه قطعه به قطعه پیوسته است. پس انتگرال های تابع های و و همگی در ان بازه موجودند.
چون هر ترکیب خطی از توابع قطعه به قطعه پیوسته ، دارای آن خاصیت است می توان دسته همه توابع قطعه‌ای پیوسته که در بازه‌ای مانند تعریف شده‌اند. یک فضای تابعی بنامیم و با نمایش می دهیم.
فضاهای تابعی دیگری در نظریه سری‌های فوریه مطرح می شوند. در بررسی سری فوریه از مقدماتی ترین مفاهیم آنالیز ریاضی استفاده می کنیم جز وقتی که خلاف آن گفته شود. وقتی می گویند تابع در بازه‌ای قطعه به قطعه پیوسته است، باید دانست که بازه محدود است و مفهوم قطعه به قطعه پیوسته بودن بدون توجه به اینکه بازه باز یا بسته است به کار می‌رود.
2-1 حاصلضرب های داخلی ومجموعه های متعامد :
فرض کنیم f و g نمایش دو تابع باشند که روی بازه بسته و محدود پیوسته است. این بازه را به N زیر بازه با طولهای مساوی تقسیم کرده و فرض می‌کنیم. نقطه دلخواهی در زیر بازه k ام باشد.
در این صورت می توان گفت وقتی N بزرگ است.

تفاوت در این جا نمایش تساوی تقریبی است یعنی

(1)
که در ان :
,
پس سمت چپ عبارت (1) تقریباً مساوی است با حاصلضرب داخلی دو بردار در فضای N بعدی، وقتی N بزرگ می باشد، در واقع وقتی N به سمت میل می کند آن تقریب در حد، دقیق می شود پس با توجه یه این مطالب یک حاصلضرب داخلی از توابع f و g را به صورت ذیل تعریف می کنیم :
(2)
اگر توابع f و g بر بازه قطعه‌ای پیوسته باشند ، این حاصلضرب داخلی خوش تعریف است بازه را که توابع و حاصلضرب های داخلی آنها روی آن تعریف شده‌اند، بازه اصلی می نامند.
بنابراین با استفاده از رابطه (2) یک حاصلضرب داخلی از هر دو تابع f و g در فضای تابعی می توان تعریف کرد. فضای تابعی با ضرب داخلی (2) مشابه فضای سه بعدی معمولی است.
برای هر تابع f و g و h در روابط زیر که نظیر خواص معمولی بردارها در فضای سه بعدی است برقرارند.
(3)
(4)
(5)
که در ان عدد C ثابتی دلخواه می باشد و
این شباهت را با تعریف نرم تابع f در ادامه می دهیم :
(6)
فرم تفاضل f و g
(7)
در واقع می‌توان گفت نرم تفاضل f و g اندازه‌ای برای فاصله بین نمودارهای
مقدار میانگین به عبارت دقیق‌تر
مربع‌های فواصل قائم بین نقاط روی نمودارها بر بازه است.
مقدار را انحراف میانگین مجذورات توابع f و g از یکدیگر می نامند.

دو تابع f و g در متعامدند هر گاه :

(8)
همچنین اگر تابع را تراز شده می نامند . تعامد دو تابع f و g چیزی در مورد عمود بودن ارائه نمی دهد.اما در عوض مشخص می شود که حاصلضرب f.g دربازه اصلی،‌مقادیر منفی و مثبت را طوری می گیرد که رابطه (8) برقرار باشد.
مجموعه ای از توابع دربازه متعامد است .هر گاه به ازای هر m و n متمایز داشته باشیم : با فرض اینکه هیچ یک از توابع دارای نرم صفر نباشند، می توان، هر یک از آنها را با تقسیم آن بر تراز کرد.
مجموعه جدید که بدین طریق ساخته می شود، که در آن :
(9)
بربازه اصلی متعامدیکه است یعنی :
(10)
که در آن دلتای کرونکر است.
با کامل نوشتن رابطه (10) یک مجموعه متعامدیکه تبدیل می‌شود به

مثال : طبق اتحاد مثلثاتی
می دانیم :

که در آن m و n اعداد صحیح مثبت هستند پس می توان گفت :

3-1 تابع دوره‌ای :
تابع را دوره‌ای می نامند هرگاه این تابع به ازای هر عدد حقیقی تعریف شده باشد و عدد مثبتی مانند T موجود باشد بطوریکه :
(1)
عدد T را دوره می نامند نمودار چنین تابعی از تکرار دوره‌ای نمودار آن درهر فاصله‌ای که طول آن T باشد بدست می آید.
ازرابطه بالا نتیجه می شود که اگرn عدد صحیح دلخواهی باشد
از این رو 2T و 3T و 4T و ; نیز دوره هستند .

به علاوه چنانچه و دارای دوره باشد آنگاه دوره تابع ، T است. همچنین دوره‌ای نیز است زیرا این تابع به ازای هر T مثبت در رابطه (1) صدق می کند.

4-1 توابع زوج و فرد :
در تعیین ضرایب فوریه یک تابع هرگاه فرد یا زوج باشد می توان از محاسبات غیر ضروری اجتناب کرد
تابع را زوج می نامند هرگاه :
تابع را فرد می نامند هرگاه :
اگر تابعی زوج باشد آنگاه :
زوج
اگر تابعی فرد باشد آنگاه :

5-1 عملگرهای خطی :
در دو تابع متعلق به یک فضای تابعی ، دامنه تعریف آنها یکسان است و هر ترکیب خطی از آنها نیز متعلق به این فضاست. یک عملگر خطی روی یک فضای تابعی ،‌یک عملگر مانند L است که هر تابع u از آن فضا را به یک تابع Lu تبدیل می کند و لزومی ندارد که Lu متعلق به آن فضا باشد و دارای این خاصیت است که برای هر دو تابع و هر دو ثابت داریم :
(1)
بخصوص :
, (2)

تابع Lu ممکن است یک تابع ثابت باشد توجه داریم که :

و به استقرار بدست می‌آوریم که L ترتیب خطی از N تابع را به طریق زیر تبدیل می کند :
(3)
مثال : فرض کنید توابعی از متغیرهای مستقل باشند بر طبق خواص مقدماتی مشتق ، مشتق هر ترکیب خطی از دو تابع می تواند به صورت همان ترکیب خطی از تک تک مشتقها نوشته شود. بنابراین :
(4)
مشروط بر اینکه موجود هستند . با توجه (4) دسته همه توابع از که مشتقات جزئی مرتبه اول آنها نسبت به در صفحه موجودند یک فضای تابعی است. عملگر روی آن فضا یک عملگر خطی است.
آن عملگر به طور طبیعی به عنوان یک عملگر دیفرانسیل خطی دسته بندی می شود.

مثال 2 :
یک خط از توابع را در نظر بگیرید که روی صفحه تعریف شده‌اند. اگر یک تابع مشخصی باشد که روی صفحه تعریف شده است. آنگاه عملگر L که هر تابع را در ضرب می کند. یعنی یک عملگر خطی است.
اگر عملگرهای خطی متمایز یا غیر متمایز ، L و M طوری باشند که M هر تابع u از یک فضای تابعی رابه یک تابع Mu متعلق به حوزه عمل L تبدیل کند. دو تابع دلخواه در آن فضای تابعی باشند، آنگاه از معادله (1) نتیجه می گیریم :
(5)
یعنی اینکه حاصلضرب LM از عملگرهای خطی نیز یک عملگر خطی است . مجموع دو عملگرخطی را توسط معادله زیر تعریف می کنیم :
(6)
اگر u را در اینجا با جایگزین کنیم می توانیم ، ببنیم که مجموع L+M یک عملگر خطی است و بنابراین مجموع هر تعداد متناهی از عملگر خطی، خطی است.
مثال 3 :
فضای توابع را در نظر بگیرید که مشتقات در مرتبه اول و دوم آنها نسبت به در یک دامنه مفروض ، در صفحه موجودند و فرض کنید L نمایش عملگر روی این فضا باشد. حاصلضرب عملگرهای خطی در مثالهای (1) و(2) روی همین فضا خطی است و بنابراین مجموع : خطی است.
6-1 اصل برهمنهی :
هر جمله از یک معادله دیفرانسیل همگن خطی تابع u از حاصلضرب یک تابع از متغیرهای مستقل با یکی ازمشتقات u یا خود u تشکیل می‌شود. بنابراین یک معادله دیفرانسیل همگن خطی به صورت زیر است :
(1)
که در آن L یک عملگر دیفرانسیل خطی است برای مثال اگر :
(2)
که در آن A تا F نمایش توابعی فقط از هستند.
معادله (1) یک معادله دیفرانسیل همگن خطی با مشتقات جزئی برای تابع است.
(3)
شرایط مرزی همگن خطی نیز به صورت (1) هستند. در این صورت متغییرهایی که به عنوان شناسه‌های تابع u و شناسه‌های ضرائب تابعی عملگر خطی L ظاهر می شوند، به گونه‌ای محدود می شوند که نمایش نقاط روی یک مرز یک دامنه باشند.
اکنون فرض می‌کنیم نمایش توابعی باشد که در معادله (1) صدق می کنند، یعنی اینکه برای هر n ،‌ از خاصیت ((3 درباره عملگرهای خطی نتیجه می شود که هر ترکیب خطی از آن توابع نیز در معادله (1) صدق می کند. اصل برهمنهی جوابها را ، که اساس روش فوریه برای حل مسائل مقدار مرزی خطی است به صورت ذیل بیان می کنیم :

7-1 قضیه
اگر هرکدام از N تابع در یک معادله دیفرانسیل همگن خطی صدق می‌کند، آنگاه هر ترکیب خطی :
(4)
که در آن Cها ثابتهای دلخواه هستند در آن معادله دیفرانسیل صدق می‌کند. اگر هر کدام از آن N تابع در یک شرط مرزی همگن خطی صدق کند، آنگاه هر ترکیب خطی (4) در آن شرط مرزی صدق می کند.
اصل برهمنهی در معادلات دیفرانسیل معمولی مفید است. برای مثال از دو جواب از معادله همگن خطی می توان جواب کلی را نوشت.
مثال :
معادله گرمای همگن خطی زیر :
(5)
و شرایط مرزی همگن خطی زیر را درنظر بگیرید :
(6)
به آسانی می توان نشان داد که اگر :

و

و

آنگاه بنابراین از قضیه (1) نتیجه می‌شود برا ی هر ترکیب خطی

یعنی اینکه تابع :
(7)
در معادله گرمای (5) صدق می کند هرگاه
اگرچه نوشتن با منظور کردن به جای در عبارت (7). خیلی طبیعی به نظر می رسد، انتخاب از نظر نمادی مناسب است.
همچنین برای شرایط مرزی (6) ،می نویسیم و مشاهده می کنیم مقدار صفر است هرگاه . بنابراین مجدداً بنا به قضیه (1) مقدار Lu صفر است هرگاه این نشان می دهد که ترکیب خطی (7) نیز در شرایط مرزی (6) صدق می کند.
قضیه7-1 در مورد مجموعه نامتناهی از توابع به کار می رود . همگرایی و مشتق پذیری سری نامتناهی متشکل از این توابع را بررسی می‌کنیم :
فرض کنید که تابع و ثابتهای طوری باشد که سری نامتناهی متشکل از جملات در سرتاسر دامنه‌ای از متغیرهای مستقل همگرا باشد . مجموع آن سری یک تابع به صورت زیر است :
(8)
فرض کنید x یکی از متغیرهای مستقل باشد آن سری نسبت به دیفرانسل پذیر، ‌یاجمله به جمله دیفرانسیل پذیر است.
اگر مشتقات موجود باشند و سری توابع به همگرا باشد :
(9)
توجه داریم که اگر قرار است یک سری دیفرانسیل پذیر باشد باید همگرا باشد ، بعلاوه سری سری (9) نسبت به دیفرانسیل پذیر باشد آنگاه سری (8) نسبت به دوباره دیفرانسیل پذیر است.
فرض کنید L یک عملگر خطی است که درآن Lu حاصلضرب تابعی از متغیر های مستقل در u یا در یک مشتق u است، یا Lu مجموعی از یک تعداد متناهی از اینگونه جملات است. اکنون نشان می دهیم که اگر سری (8) برای همه مشتقات موجود در L دیفرانسیل پذیر باشد و اگر هر کدام از توابع در سری ((8 در معادله دیفرانسیل همگن خطی صدق می کند، آنگاه، u نیز در این معادله صدق می کند یعنی اینکه برای انجام کار ابتدا توجه داریم که بر طبق تعریف مجموع یک سری نامتناهی :

هرگاه سری (8) نسبت به دیفرانسیل پذیر باشد .آنگاه :
(10)
در اینجا عملگر می تواند با مشتقات دیگر جایگزین شود.